已知函数f(x)＝13x3−x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线是3x-y-2=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）设t∈[-2，-1]，函数g（x）=f（x）+（m-3）x在（t，+∞）上为增函数，求m的取值范围．
问题描述：
已知函数f(x)＝
x3−x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线是3x-y-2=0．1 3
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设t∈[-2，-1]，函数g（x）=f（x）+（m-3）x在（t，+∞）上为增函数，求m的取值范围．
答
（Ⅰ）f′（x）=x2-2x+a，所以切线的斜率k=f′（0）=a，
又切线方程为3x-y-2=0，故a=3．
∵点P（0，b）在切线上，∴b=-2．…（5分）
（Ⅱ）因为f(x)＝
x3−x2+3x−2，1 3
所以g(x)＝
x3−x2+3x−2+(m−3)x＝1 3
x3−x2+mx−2，1 3
所以g′（x）=x2-2x+m，
又g（x）是（t，+∞）上的增函数，所以g′（x）≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，…（7分）
即t2-2t+m≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，
又函数h（t）=t2-2t+m在t∈[-2，-1]是递减函数，
所以h（x）min=h（-1）=m+3≥0，
所以m≥-3．…（12分）
答案解析：（Ⅰ）求导数，利用导数的结合意义，即可求a、b的值；
（Ⅱ）求得函数g（x）的解析式，利用函数在（t，+∞）上为增函数，可得t2-2t+m≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，利用函数的单调性，即可求m的取值范围．
考试点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．