如图,将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个三棱锥S-ABC,求三棱锥S-ABC的体积与剩下的几何体体积的比.

问题描述:

如图,将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个三棱锥S-ABC,求三棱锥S-ABC的体积与剩下的几何体体积的比.

设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,
即SA=a,SB=b,SC=c.(1分)
由长方体,得SA,SB,SC两两垂直,
所以VA−SBC

1
3
SA•S△SBC
1
3
1
2
bc=
1
6
abc,(5分)
于是VS−ABCVA−SBC
1
6
abc
.(8分)
故剩下几何体的体积V=abc−
1
6
abc=
5
6
abc
,(10分)
因此,VS-ABC:V=1:5.(12分)
答案解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,根据长方体的几何特征,我们可得SA,SB,SC两两垂直,代入棱锥体积公式及长方体体积公式,求出三棱锥S-ABC的体积与剩下的几何体体积,进而得到答案.
考试点:棱柱、棱锥、棱台的体积.
知识点:本题考查的知识点是棱柱的体积公式及棱锥的体积公式,其中根据长方体的结构特征分析出SA,SB,SC两两垂直,进而求出棱锥的体积是解答本题的关键.