如图,在梯形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若△COD的面积为a2,△AOB的面积为b2,其中a>0,b>0,试求梯形ABCD的面积S(用含有a,b的代数式表示).

问题描述:

如图,在梯形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若△COD的面积为a2,△AOB的面积为b2,其中a>0,b>0,试求梯形ABCD的面积S(用含有a,b的代数式表示).

∵AB∥CD,
∴△COD∽△AOB,

S△COD
S△AOB
=(
CO
AO
)2
CO
AO
a2
b2
a
b

又∵S△ABC=S△ABD
∴S△ABC-S△AOB=S△ABD-S△AOB
即S△BOC=S△AOD
又∵
S△AOD
S△COD
AO
CO
b
a

S△AOD
b
a
S△COD
b
a
a2=ab

则S△BOC=ab,
∴S=a2+ab+ab+b2=(a+b)2
答案解析:首先证明△COD∽△AOB,由相似三角形的性质可得到CO和AO的关系,又因为S△ABC=S△ABD,所以S△ABC-S△AOB=S△ABD-S△AOB,即S△BOC=S△AOD,进而得到a,b的代数式和S的关系.
考试点:相似三角形的判定与性质;梯形.
知识点:此题考查了相似三角形的判定和梯形的性质,对学生的计算能力要求也很高.