已知f(x)=根号（1+x^2）定义在区间[-1,1]上,设x1,x2∈[-1,1]且x1≠x2 （1）求证：|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|
问题描述：
已知f(x)=根号（1+x^2）定义在区间[-1,1]上,设x1,x2∈[-1,1]且x1≠x2 （1）求证：|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|
答
证明：不妨假设-1≤x2＜x1≤1.
【1】函数f(x)=√(1+x²).其中-1≤x≤1.
求导可得：f'(x)=x/√(1+x²).
∵对任意实数x,恒有1+x²＞x²≥0.
∴√(1+x²)＞|x|≥0.
∴恒有：0≤|x|/√(1+x²)＜1.
即恒有|f'(x)|＜1.
【2】易知,在区间[x2,x1]上,函数f(x)连续可导.
∴由“拉格朗日中值定理”可知,存在实数t∈(x2,x1),使得
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)×f'(t).
∵|f'(t)|＜1.
∴|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|×|f'(t)|＜|x1-x2|.即
|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|.