有没有可能由定义 求出 奇函数的导数是偶函数 偶函数的导数是奇函数求 =-(f(x)-f(x-△x))/△x 到=-f'(x)的详细证明
问题描述：
有没有可能由定义 求出 奇函数的导数是偶函数 偶函数的导数是奇函数
求 =-(f(x)-f(x-△x))/△x 到=-f'(x)的详细证明
答
显然可以.（以下省略lim)
偶函数
f'(x)=(f(x+△x)-f(x))/△x
f'(-x)=(f(-x+△x)-f(-x))/△x
=(f(x-△x)-f(x))/△x
=-(f(x)-f(x-△x))/△x
=-f'(x)
奇函数
f'(x)=(f(x+△x)-f(x))/△x
f'(-x)=(f(-x+△x)-f(-x))/△x
=(-f(x-△x)+f(x))/△x
=(f(x)-f(x-△x))/△x
=f'(x)
lim(f(x)-f(x-△x))/△x
由定义可知△x可正可负,不妨记-△x为△x,
则化为
lim(f(x)-f(x+△x))/-△x
即lim(f(x+△x)-f(x))/△x
=lim-(f(x)-f(x-△x))/△x
=-lim(f(x+△x)-f(x))/△x
=-f'(x)