求微分方程(x+y/x)dy/dx=-2y 的通解
问题描述：
求微分方程(x+y/x)dy/dx=-2y 的通解
答
设y/(x^2)=k,所以dy/dx=x^2dk/dx+2y/x代到原式(1+k)(xdk/dx+2k)=-2k
设l=lnx,1+k=m,m(dm/dl+2(m-1))=-2(m-1).整理dm/dl=2/m-2m.dl=mdm/2/(1-m^2)=-dln(1-m^2)/4.
所以l=-ln(1-m^2)/4+c.x=(C(k^2+2k)^(-1/4),即C=(y^2+2yx^2)
答
也可以这样解
(x+y/x)dy=-2ydx
x^2dy+ydy=-2xydx
x^2dy+ydy+2xydx=0
x^2dy+ydx^2+ydy=0
d(x^2y)+d(y^2/2)=0
通解x^2y+y^2/2=C