如图,已知△ABC中,∠A=90°,AC=10,AB=5,点A、C分别在x轴和y轴上,且C(0,8),抛物线y=1/4x2+bx+c过B、C两点. (1)求抛物线解析式. (2)如果将△ABC沿CA翻折,设点B的落点为点M,现平移

问题描述:

如图,已知△ABC中,∠A=90°,AC=10,AB=5,点A、C分别在x轴和y轴上,且C(0,8),抛物线y=

1
4
x2+bx+c过B、C两点.

(1)求抛物线解析式.
(2)如果将△ABC沿CA翻折,设点B的落点为点M,现平移抛物线,使它的顶点为M,求出平移后的抛物线解析式,并写出平移的方法.

(1)∵抛物线y=

1
4
x2+bx+c过C点,且C(0,8),
∴8=c,
∴OC=8;
在Rt△AOC中,AC=10,OC=8,
∴根据勾股定理,得OA=6.
如图1,过点B作BD⊥x轴于点D.
∵∠COA=∠ADB=90°,∠ACO=∠BAD(同角的余角相等),
∴△COA∽△ADB,
OC
DA
=
CA
AB
,即
8
DA
=
10
5
,则DA=4.
∴BD=3(勾股定理),
∴B(10,3).
∵抛物线y=
1
4
x2+bx+c过B、C两点.
8=c
3=
1
4
×102+10b+c

解得
b=−3
c=8

∴该抛物线的解析式是:y=
1
4
x2-3x+8,
即y=
1
4
(x-6)2-1;
(2)由(1)得B(10,3).
根据题意知,点M与点B关于点A对称,所以M(2,-3).
∴平移后的抛物线解析式是:
y=
1
4
(x-2)2-3;
方法:向左平移4个单位,再向下平移2个单位.