沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人,全年工农业生产总值为3180万元.从2003年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元,人口每年净增a人,设从2003年起的第x年该村人均产值为y万元.(1)写出y与x之间的函数关系式;(2)为使该村的人均产值年年都有增长,那么该村每年人口的净增不能超过多少人?

问题描述:

沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人,全年工农业生产总值为3180万元.从2003年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元,人口每年净增a人,设从2003年起的第x年该村人均产值为y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)为使该村的人均产值年年都有增长,那么该村每年人口的净增不能超过多少人?

(1)依题意得第x年该村的工农业生产总值为(3180+60x)万元,
而该村第x年的人口总数为(1480+ax)人,
∴y=

3180+60x
1480+ax
(1≤x≤10).
(2)解法一:为使该村的人均产值年年都有增长,则在1≤x≤10内,y=f(x)为增函数.
设1≤x1<x2≤10,则
f(x1)-f(x2)=
3180+60x1
1480+ax1
-
3180+60x2
1480+ax2

=
60×1480(x1x2)+3180a(x2x1)
(1480+ax1)(1480+ax2)

=
(88800−3180a)(x1x2)
(1480+ax1)(1480+ax2)

∵1≤x1<x2≤10,a>0,
∴由f(x1)<f(x2),得88800-3180a>0.
∴a<
88800
3180
≈27.9.又∵a∈N*,∴a=27.
解法二:∵y=
60
a
53+x
1480
a
+x

=
60
a
[1+
53−
1480
a
x+
1480
a
],
依题意得53-
1480
a
<0,∴a<
1480
53
≈27.9.
∵a∈N*,∴a=27.
答:该村每年人口的净增不能超过27人.
答案解析:(1)据人均产值=
总产值
人数
,列出y与x的关系
(2)法一是利用单调递增函数的定义,设出有大小的两自变量得到其函数值的大小,列出不等式求出a的范围.
方法二是先将函数分离常数,再利用函数是增函数,得到分子小于0,列出不等式求出a的范围.
考试点:函数模型的选择与应用;函数单调性的性质.

知识点:本小题主要考查函数知识、函数的单调性,考查数学建模,运用所学知识解决实际问题的能力.