直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1平行？证明你的结论．

答

（1）证明：由已知平面ABCD⊥平面BB₁C₁C
又∵∠BAD=∠ADC=90°，
且AB=2AD=2CD=2，
∴AC＝

2

，∠BAC=45°，
在△ABC中，由余弦定理得：
BC＝

AB2+AC2−2AB•AC•cos∠BAC

=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．…（6分）
（2）存在点P，P为A₁B₁的中点．
下面证明：
∵P为A₁B₁的中点，∴PB1

∥ ＝

1

2

AB，又CD

∥ ＝

1

2

AB，
∴PB1

∥ ＝

CD，
∴四边形DCB₁P为平行四边形，∴DP∥CB₁，
又CB₁在平面BCB₁内，
∴DP与平面BCB₁平行．…（12分）
答案解析：（1）由已知平面ABCD⊥平面BB₁C₁C，由余弦定理得AC⊥BC，由此能证明AC⊥平面BB₁C₁C．
（2）存在点P，P为A₁B₁的中点．由已知条件推导出四边形DCB₁P为平行四边形，由此能证明DP与平面BCB₁平行．
考试点：直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．
知识点：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的判断与证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．