直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2． （1）求证：AC⊥平面BB1C1C； （2）在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1平行？证明你的结论．
问题描述：
直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（2）在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1平行？证明你的结论．
答
（1）证明：由已知平面ABCD⊥平面BB1C1C
又∵∠BAD=∠ADC=90°，
且AB=2AD=2CD=2，
∴AC＝
，∠BAC=45°，
2
在△ABC中，由余弦定理得：
BC＝
=
AB2+AC2−2AB•AC•cos∠BAC
，
2
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
∴AC⊥平面BB1C1C．…（6分）
（2）存在点P，P为A1B1的中点．
下面证明：
∵P为A1B1的中点，∴PB1
∥ ＝
AB，又CD1 2
∥ ＝
AB，1 2
∴PB1
CD，
∥ ＝
∴四边形DCB1P为平行四边形，∴DP∥CB1，
又CB1在平面BCB1内，
∴DP与平面BCB1平行．…（12分）