用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的微分方程,然后求出通解：⑴xy'+y=y(lnx+ln
问题描述：
用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的微分方程,然后求出通解：⑴xy'+y=y(lnx+ln
用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的微分方程,然后求出通解：
⑴xy'+y=y(lnx+lny)
⑵y'=y^2+2(sinx-1)y+sin^2x-2sinx-cosx+1
答
1、方程写作(xy)'=xyln(xy)/x,令u=xy,微分方程化为du/dx=ulnu/x,分量变量du/(ulnu)=dx/x,两边积分ln(lnu)=lnx+lnC,所以lnu=Cx,原方程的通解是lnx+lny=Cx.
2、方程写作y'+cosx=(y+sinx-1)^2,令u=y+sinx-1,微分方程化作du/dx=u^2,分量变量du/u^2=dx,两边积分-1/u=x+C,所以原方程的通解是-1/(y+sinx-1)=x+C或者y=-1/(x+C)-sinx+1.