急在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an(n属于自然数) 猜想an,并用数学归纳法在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an(n属于自然数) 猜想an,并用数学归纳法证明若数列bn=an/n,求数列{bn}的前n项和Sn

a1=1及a(n＋1)=2an/(2＋an)，得：
a1=1
a2=2/3
a3=1/2=2/4
a4=2/5
猜测：an=2/(n＋1)
证明：
1、当n=1时，an=a1=2/(1＋1)=1，满足；
2、设：当n=k时，ak=2/(k＋1)
则当n=k＋1时，
a(k＋1)=2ak/(2＋ak) 【以ak=2/(k＋1)代入】
=2/[(k＋1)＋1]
即当n=k＋1时也成立
3、根据（1）（2）得证an+1=2an/2+an。
bn=an/n=2/[n(n＋1)]=2[(1/n)－1/(n＋1)]
则：
Sn=2{[(1/1)－(1/2)]＋[(1/2)－(1/3)]＋[(1/3)－(1/4)]＋…＋[1/n－1/(n＋1)]}
=(2n)/(n＋1)
高二下学期的知识 注意格式的要求！！！！

取倒数构造法
an+1=2an/2+an两边取倒数，1/an+1=2+an/2an=1/an+1/2 构造新的数列bn=1/an
满足bn+1=bn+1/2 则数列bn是以1为首相，1/2为公差的等差数列
bn=1+(n-1)1/2=(n+1)/2
所以an=2/(n+1）

利用：a1=1及a(n＋1)=2an/(2＋an),得：a1=1a2=2/3a3=1/2=2/4a4=2/5猜测：an=2/(n＋1)证明：1、当n=1时,an=a1=2/(1＋1)=1,满足；2、设：当n=k时,ak=2/(k＋1)则当n=k＋1时,a(k＋1)=2ak/(2＋ak) 【以ak=2/(k＋1)代入】=...

a(n+1)=2an/(2+an)
两边取倒数
1/a(n+1)=1/an+1/2
1/a1=1
{1/an}是以1为首项，1/2为公差的等差数列
1/an=1+(1/2)*(n-1)
1/an=(n+1)/2
an=2/(n+1)