如图电流强度I与时间t的关系式I=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)在一个周期内的图象;(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调减区间;(3)为了使I=Asin(ωx+φ)中t在任意一段150秒的时间内I能同时取得最大值和最小值,求正整数ω的最小值.

问题描述:

如图电流强度I与时间t的关系式I=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−

π
2
<φ<
π
2
)在一个周期内的图象;

(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调减区间;
(3)为了使I=Asin(ωx+φ)中t在任意一段
1
50
秒的时间内I能同时取得最大值和最小值,求正整数ω的最小值.

(1)由图可知:A=300,周期T=

1
60
−(−
1
300
)=
1
50
;由
ω
=T⇒ω=
T
=100π

t=−
1
300
时,ωt+φ=0,即φ=−ωt=−100π•(−
1
300
)=
π
3

故图象的解析式为:I=300sin(100πt+
π
3
)

(2)由  2kπ+
π
2
100πt +
π
3
≤2kπ+
2
,k∈z,可得  
k
50
+
1
600
≤x≤ 
k
50
+
7
600
,k∈Z

 故函数的减区间为  [
k
50
+
1
600
k
50
+
7
600
],k∈Z

(3)要使t在任意一段
1
50
秒能取得最大值和最小值,必须使得周期T≤
1
50

ω
1
50
 ,  ω>100π  , ω>314.2
,由于ω为正整数,故ω的最小值为315.
答案解析:(1)由图象的顶点纵坐标求出A,由周期求出ω,根据五点法作图求出∅.
(2)由  2kπ+
π
2
100πt +
π
3
≤2kπ+
2
,求出x的范围,即为函数的减区间.
(3)要使t在任意一段
1
50
秒能取得最大值和最小值,必须使得周期T≤
1
50
,解不等式求得ω的范围,从而得到ω的最小值.
考试点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.

知识点:本题考查由 y=Asin(ωx+∅)的部分图象求函数的解析式得方法,正弦函数的单调区间,以及参数的几何意义,
求出函数的解析式是解题的突破口.