如图电流强度I与时间t的关系式I=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)在一个周期内的图象;(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调减区间;(3)为了使I=Asin(ωx+φ)中t在任意一段150秒的时间内I能同时取得最大值和最小值,求正整数ω的最小值.
如图电流强度I与时间t的关系式I=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−
<φ<π 2
)在一个周期内的图象;π 2
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调减区间;
(3)为了使I=Asin(ωx+φ)中t在任意一段
秒的时间内I能同时取得最大值和最小值,求正整数ω的最小值. 1 50
(1)由图可知:A=300,周期T=
−(−1 60
)=1 300
;由 1 50
=T⇒ω=2π ω
=100π;2π T
当t=−
时,ωt+φ=0,即φ=−ωt=−100π•(−1 300
)=1 300
;π 3
故图象的解析式为:I=300sin(100πt+
).π 3
(2)由 2kπ+
≤100πt +π 2
≤2kπ+π 3
,k∈z,可得 3π 2
+k 50
≤x≤ 1 600
+k 50
,k∈Z,7 600
故函数的减区间为 [
+k 50
,1 600
+k 50
],k∈Z.7 600
(3)要使t在任意一段
秒能取得最大值和最小值,必须使得周期T≤1 50
;1 50
即
<2π ω
, ω>100π , ω>314.2,由于ω为正整数,故ω的最小值为315.1 50
答案解析:(1)由图象的顶点纵坐标求出A,由周期求出ω,根据五点法作图求出∅.
(2)由 2kπ+
≤100πt +π 2
≤2kπ+π 3
,求出x的范围,即为函数的减区间.3π 2
(3)要使t在任意一段
秒能取得最大值和最小值,必须使得周期T≤1 50
,解不等式求得ω的范围,从而得到ω的最小值.1 50
考试点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.
知识点:本题考查由 y=Asin(ωx+∅)的部分图象求函数的解析式得方法,正弦函数的单调区间,以及参数的几何意义,
求出函数的解析式是解题的突破口.