正方形ABCD中,PQ分别是BC、CD上的点,∠PAQ=45°,且△CPQ的周长为20,求正方形周长

问题描述:

正方形ABCD中,PQ分别是BC、CD上的点,∠PAQ=45°,且△CPQ的周长为20,求正方形周长

延长QD至P',使得DP'=BP,连结AP'
由于ABCD是正方形,所以∠B=∠ADC=∠ADP'=90°,AB=AD,又P'D=BP
所以△ABP≌△ADP',所以AP'=AP,∠PAB=∠P'AD
又∠PAQ=45°,所以∠DAQ+∠PAB=45°
所以∠P'AD+∠DAQ=45°,即∠P'AQ=45°
所以∠P'AQ=∠PAQ,又AQ=AQ,AP'=AP
所以△PAQ≌△P'AQ
所以P'Q=PQ,所以P'D+DQ=BP+DQ=PQ
设正方形ABCD的边长为x,则
x-PB+x-DQ+PQ=20,所以x-PB+x-DQ+BP+DQ=20
所以x=10
所以正方形ABCD的边长为4×10=40

貌似缺条件吧?在下不才~~

把三角形ABP旋转到ADP' 使得AB与AD重合
可得三角APQ与三角形AQP’全等
PQ=BP+QD
△CPQ=PQ+CQ+CP=BP+QD+CQ+CP=1/2C正方形
C正方形=40

连接AC交PQ于M
△ABP≡△APM≡△AQM起始于△ADQ
∴BP=PM=QM=DQ
∴CP+PM+QM+CQ=BP+CP+DQ+CQ=BC+DC=20
∴BC=DC=10
∴正方形周长=40