设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系．试证明：（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2线性无关．
问题描述：
设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系．试证明：
（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；
（2）η0，η1，η2线性无关．
答
证明：（1）由于Aη0=b，Aξ1=Aξ2=0，因此
Aηi=Aη0+Aξi=b+0=b（i=1，2）
∴η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解
（2）设k1η0+k2η1+k3η2=0，则
（k1+k2+k3）η0+k2ξ1+k3ξ2=0
等式两边左乘A得
（k1+k2+k3）b+0+0=0
由b≠0，得
k1+k2+k3=0
∴k2ξ1+k3ξ2=0
再由ξ1，ξ2线性无关，得k2=k3=0．
∴k1=k2=k3=0
∴η0、η1、η2线性无关
答案解析：（1）直接将η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2代入到Ax=b即可；（2）写出η0，η1，η2线性的组合，然后利用解向量的定义和ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系，即可证明．
考试点：非齐次线性方程组解的结构及通解的概念；向量组线性无关的判定与证明．
知识点：此题考查线性方程组解的结构和向量组线性无关的证明，都是基础知识点．