已知a、b、c均为正整数，且满足a2+b2=c2，又a为质数．证明：（1）b与c两数必为一奇一偶；（2）2（a+b+1）是完全平方数．
问题描述：
已知a、b、c均为正整数，且满足a2+b2=c2，又a为质数．
证明：（1）b与c两数必为一奇一偶；（2）2（a+b+1）是完全平方数．
答
证明：（1）∵a2+b2=c2，
∴a2=c2-b2=（c+b）（c-b），
因为a是质数，而（c+b）和（c-b）不可能都等于a，所以c-b=1，c+b=a2，得到c=b+1，
则b，c是两个连续的正整数，
∴b与c两数必为一奇一偶；
（2）将c=b+1代入原式得：
a2+b2=（b+1）2=b2+2b+1
得到a2=2b+1
则a2+2a+1=2b+1+2a+1=2（a+b+1）
左边等于（a+1）2是一个完全平方数，
所以右边2（a+b+1）是一个完全平方数，得证．
答案解析：从a2+b2=c2的变形入手；a2=c2-b2，根据a是质数，则a2一定是只有因数1，a和a2，运用质数、奇偶数性质证明．
考试点：质数与合数．
知识点：本题主要考查了质数的性质，正确理解若a是质数，则a2一定是只有因数1，a和a2，是解决本题的关键．