已知函数f（x）=(x−k)2exk．（1）求f（x）的单调区间；（2）若对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤1e，求k的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=(x−k)2e
．x k
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤
，求k的取值范围． 1 e
答
（1）f′（x）=
(x2−k2)e1 k
，x k
令f′（x）=0得x=±k…．（3分）
当k＞0时，f（x）在（-∞，-k）和（k，+∞）上递增，在（-k，k）上递减；
当k＜0时，f（x）在（-∞，k）和（-k，+∞）上递减，在（k，-k）上递增…（8分）
（2）当k＞0时，f（k+1）=e
＞k+1 k
，所以不可能对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤1 e
；1 e
当k＜0时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（-k）=
，所以对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤4k2
e
1 e
即
≤4k2
e
，∴−1 e
≤k＜0，1 2
故对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤
时，k的取值范围为[-1 e
，0）．…．（14分）1 2
答案解析：（1）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤
，等价于对∀x∈（0，+∞），都有f（x）max≤1 e
，由此可求k的取值范围．1 e
考试点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．