平行四边形的内角和与外角和的关系是什么

四 边 形的 内 角 和
一、背景和主题：
新一轮数学课程和教学改革突出强调让学生主动经历观察、实验、归纳、类比、猜测、验证等探究过程来学习数学.但在实际课堂教学中,由于各种原因,很多时候感到很难组织和设计课堂探究教学.开始我常常抱怨学生素质不高等,还希望有设计详细的教案作参考,寻找固有的套路,但经常长时间的教学实践,我发现,要上好数学探究课还是得从自身找原因,多思考,勤反思,善总结.下面就是对我自己所上《四边形的内角和》一课所进行的记录、思考、反思和总结.
二、过程和分析
（一）问题情景：
师：某家庭用一批大小、形状一样的正三角木板,能拼成大面积平整无空隙的地板吗?
生：可以.（将若干三角形在桌面上摆一摆.）
师：某天这家主人要换用正方形木板铺设地面行吗?
生：可以（用准备好的若干正方形纸板分别在桌面上依次摆一摆.）
师：能换用正五边形木板吗?为什么?小组之间互相交流.（投影）
生：（小组稍作摆放并讨论）能换成正方形木板而不能换成正五边形木板,因正方形木板四个顶点摆在一起刚好为360度,而正五边形木板的几个顶点摆在一起都不能拼成360度.
（二）引入新课
师：同学们得出的结论很有价值!要拼成无空隙地面与图形顶角可否拼成360°角有关,那么若要换成同样大小的任意四边形木板铺地面行吗?
生：（动手摆一摆）行,可将四个不同的角摆在一起,组成一个360°的角.
【评析】根据初中生身心发展规律,他们已有一定的生活经验,有一种与生俱来的以自我为中心的探索欲和好奇心.问题的设立充分适应和利用这种心理特征,在教学内容设计中安排了“正三角形、正方形、正五边形木板铺设无空隙的地面”这样一个问题情景,并通过摆纸板让学生做“数学实验”.在生动有趣的素材操作、探究中,激发学生的“认知冲突”,使学生产生迫切学习的心理,从而造成积级活动的课堂气氛,教师再搭适当的“脚手架”,使学生思维逐步抽象,使所有新知识都通过学生自身的“再创造”活动纳入其认知结构,学生真正成为数学知识的发现者.
这里,若以一般三角形、四边形、五边形为实际问题情景,则不能激发学生的认知冲突.因此,数学探究的教学要求老师精心创设问题和问题情景,对问题作适当的教学化处理,这样才能适合学生进行探究.
（三）探究新知
师：我们已学过三角形的定义及三角形的边、顶点、内角和外角等有关概念,也学过矩形、正方形、平行四边形、梯形等四边形（投影显示图形和文字）,那么四边形有关概念又是怎样定义的?请同学们阅读课文
生：（阅读课文）
师：根据自己的阅读理解,做下列习题,并进行小组交流.
①画一个四边形并画出它的对角线,写出四边形、四条边、二条对角线等名称.
②画一个四边形并画出它的一个外角,写出它的四个内角及同一顶点内角和外角的关系.
生：（练习、讨论、展示、互评）
师：（肯定学习成果,并指出多边形的字母通常按逆时针的顺序依次排列,定义中必须有“同一平面内”几个字.）
师：（演示模型：立体四边形）
我们学习的四边形是指凸四边形.（投影显示凹、凸四边形的区别）
师：刚才在操作过程中你们对任意四边形的四个内角关系有什么新的认识?
生：把四个不同的内角拼在一起,恰好摆成一个无空隙的纸板,所以四边形的内角和等于360度.（并作拼图演示）
师：又一个伟大的发现!请问你是怎么想到用这种方法的?
生：由三角形内角和类比得到的.
师：很好!但我们从实验中得出的结论可否普遍适用,必须经过逻辑证明才行.谁能把这个问题写成数学命题形式?
生：已知四边形ABCD,求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°（例1）
师：对,同学们,你们能想到什么吗?
生：三角形内角和定理的证明.
师：很好,它们是如何证明的.
生：由拼剪的过程中受到启发,作平行线可证出来.
师：很好,那么我们能否也用同样的方法证明例1.
生：可以.
师：你能说出是怎样想到这种证法的吗?
生：类比.
师：很好,还有没有更简单的证明方法.
生：（思考后）有,把四边形问题转化为三角形问题.
师：好,说说看.
生：连结一条对角线BD,就可把四边形分成△ABD与△BCD两个三角形的所有内角和等于360°.
师：很好,这种证法又主要运用了什么思想方法呢?
生：用了转化与分割的思想,把四边形转化为三角形.
师：说得很对,同学们看看,把四边形转化为三角形,除了上面一种技巧外,还有没有另外的方法和技巧,交流一下,比一比哪组证法最多?
生：（组内和组外热烈讨论和交流）各组同学的探索热情高涨,纷纷争着汇报以下多种方法.
【评析】数学家研究和发现数学理论,独立思考当然必不可少.但也并非用他们的全部时间进行发现,与同行的交流也是非常重要的,他们的许多行为也是属于讲述或接受性质的,还特别强调合作.
教学的重要本质就是一系列的沟通.正如前苏联心理学家维果茨基所指出：“人所特有的被中介的心理机能不是从内部自发产生的,它们只能产生于人们的协作活动和人与人的交往中.”
因为探究性活动是一种创造性活动,而有利于创造活动的一般条件是心理的安全和心理的*.通过对话与交往,可以重建人道的、和谐的、*的、平等的师生关系,培养学生的参与意识,采用动手实验、讨论交流、师生评议等活动形式．全体学生始终处于一种积极的学习状态.
探究新问题需要知识的固着点．问题本身与固着点的“潜在距离”愈远,一般说来探究的难度就愈高.由此可见,知识、经验是探究能力的基础,不能离开一定的知识、经验的丰富度去强调探究能力.然而,学习心理学的研究表明：学生在发展上是存在差异的.新的探究教学理念就是要承认学生在学习上的差异,更多关注学生的学习参与意识、思维方式、实践能力等学习过程,实现不同的人在数学学习中获得不同的发展.
实践中,将同一个“脚手架”给所有的学生攀登是不合适的,学生知识、能力的差异等,决定了“脚手架”之基点的不同.“脚手架”的设计和给出的关键是要把握探究的新问题与学生原有知识固着点之问的距离“度”.如本题的证明过程教师先引导由三角形类比到四边形,再由四边形转化为三角形,就是体现“脚手架”由学生原有的知识基础过渡到新知识,放手让学生去探索,分别根据自己的实际情况,获得不同的证法,并加以交流.真正做到让学生始于知（知识）、濡于情（情感）、发于意（内在动机）和见于行（行动）,把认知过程与情意过程统一起来,收到意想不到的效果.其中,教师搭“脚手架”的作用不可低估.教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”（《礼记-学记》）,诱导学生自己探究数学结论,处理好“放”与“扶”的关系.
师：例2,某人绕一个四边形的花坛的外圈走一圈,在每个拐弯的地方都随之转了一个角度（∠1,∠2,∠3和∠4）,那么回到原来位置时,一共转了几度?你从中可发现什么结论?能加以证明吗?（课本例改编）
生：（思考片刻,没人回答）
师：（提示）,∠1,∠2,∠3和∠4,四个角分别是四边形的什么角?
生：∠1＋∠ABC＝180°,∠2＋∠BCD＝180°,∠3＋∠CDA＝180°,∠4＋∠DAB＝180°.
师：好,那么∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＋∠DAB等于多少度?为什么?你怎样可得出四个外角和的度数呢?
生：. ∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＋∠DAB＝360°,因四边形内角和等于360°.以上四式相加即可得：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.
师：很好,你们可否有其它的证题方法.
生：（组内讨论交流,又给出了右面图中的证法）
【评析】本题通过让学生自主探索四边形的外角和的不同证法,再一次让学生经历“数学化”的活动,使学生亲身经历知识的发生、发现过程,同时通过合作交流,学生之间、师生之间的各种观点真正地交锋、碰撞,拓宽了思维探索的空间,激发了创新的灵感,学生通过小组讨论、交流发现的多种证题方法,有的甚至出乎教师的意料之外.
（四）反思与交流
师：这节课学习了四边形的哪些概念和性质?
生：四边形的定义、对角线、内角、外角,四边形的内角和等于360°,四边形的外角和等于360°.
师：同学们反思一下,我们用到了哪些数学思想、数学方法、数学技巧?
生：由三角形的相关性质和方法类比到四边形,类比常常是数学发现的一种方法.
生：通过添辅助线将四边形转化为三角形问题来解决是一种常用的重要思想.
生：将四边形分成三角形的不同技巧.
生：还有将实际问题数学化的思想,从特殊到一般的方法,观察、实验的思想等等.
【评析】荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔曾说过,反思是数学家进行数学学习和研究的核心和动力.反思也是数学探究的一个重要环节,给学生以反思的机会,反思数学概念、数学思想、数学方法、数学技巧等,其目的是让学生养成良好的反思习惯,理解数学探究的方法．其价值不可低估.
三、结果和反思：
新课完成后,学生的作业练习完成的非常理想,极少错误,学生对学数学也更感兴趣了.后来了解到,不少同学课后自己探究出：六边形的内角和,n边形的内角和,n边形的外角和.
众所周知,数学家的研究过程被看成一种探索的活动,包含有错误、尝试与改进的过程.因此,数学探究课也允许学生犯错误,教师在授课过程中要把握心态,学生偏离研究方向时也要能容忍,在适当的时候进行适当的指导.
由于猜想与证明是数学探究的两个重要方面,猜想与证明是数学理论产生的两个不可或缺的环节,没有猜想就没有证明,反过来没有证明则任何猜想都无法获得最终确认.
教学过程中的适当探究可以把猜想与证明结合起来,并将可能把学习者引导到一个富有想象力的学习环境中.如本节课中通过设计两个实际问题情景,引导学生进行实际实际问题“数学化”.通过例l定理的证明和例2推论的证明,引导学生得出多种证法.
观念是行动的先导.赛姆（Thom,1971）曾说“事实上,无论人们的意愿如何．一切数学教学法根本上都出于某一数学哲学,即便是很不规范的教学法也如此.” 数学家赫斯(Hersh,1979)的观点： “问题并不在于教学的最好方式是什么,而在于数学到底是什么.……如果不正视数学的本质问题,便解决不了关丁教学上的争议.” “教师专业数学思想的形成与他们表达数学内容的典型方式存在着一致性,这有力地说明了教师的数学观、数学信仰和爱好的确影响着他们的教学活动.”
我以前的数学观主要是静态的、绝对主义的数学观,教学实践中常抱怨很难组织数学探究.后来我发觉,这与自己数学观不正确、数学功底差、合作探究教学技能缺乏很有关.以这样的数学功底．如何能做到为了教育的需要,对数学研究的成果进行再创造式的整理,提供适于教学法加工的材料；而且,由于学生在学习和探索中有许多未知的因素可能发生,这些都对教师的数学功底与教学技能提出了较高的要求.
面对时代的挑战,我认为教师需要转变观念,切实改进教学行为,努力提高自身素质水平,才能更好地实施数学的探究教学.