设x,y,z都是正数,且3^x=4^y=6^z,求证：1/z-1/x=1/2y
问题描述：
设x,y,z都是正数,且3^x=4^y=6^z,求证：1/z-1/x=1/2y
∵x,y,z都是正数,且3^x=4^y=6^z
∴lg(3^x)=lg(4^y)=lg(6^z)
即：xlg3=ylg4=zlg6
设xlg3=ylg4=zlg6=k
则x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6
1/z-1/x
=1/(k/lg6)-1/(k/lg3)
=lg6/k-lg3/k
=(lg6-lg3)/k
=lg2/k
1/2y
=1/(2k/lg4)
=lg4/(2k)
=2lg2/(2k)
=lg2/k
∴1/z-1/x=1/2y得证
但是要比较3x,4y,6z的大小,怎么比?
重点在问题的最后一行!
答
既然已推断出：x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6 .但是粗略的比较下三个数,分母都不一样,那么求差比较大小是比较复杂的事情；而他们的分子都是k,所以比较3x,4y,6z的大小,我们可以从其倒数来考虑.则1/3x=lg3/3k,1/4y=lg4/4k,1...