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已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4.P是AB上的点，则点P到AC，BC的距离的积的最大值是（　　）A. 2B. 3C. 332D. 32

分类: 作业答案 • 2022-06-30 22:37:55
问题描述：

已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4.P是AB上的点，则点P到AC，BC的距离的积的最大值是（　　）
A. 2
B. 3
C.

3
 3
2

D. 3
 2

答

如图：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．设PM=x．
因为三角形是直角三角形，显然△AMP∽△ACB，所以

AM
AC
＝
PM
BC
可得：
AM
4
＝
x
3
，
所以AM=
4x
3
，MC=4-
4x
3
．
所以PN=4-
4x
3
．
PM•PN=x（4-
4x
3
）
=
4
3
x（3-x）
=
4
3
（-x2+3x）
=-
4
3
（x-
3
2
）2+3．
由二次函数知识，当x=
3
2
时（此时点P是AB的中点），PM•PN有最大值3
答：P到AC，BC的距离乘积的最大值是3．
故选B．
答案解析：由题意画出三角形ABC，作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．设PM=x，通过三角形相似，求出PM，PN，即可推出点P到AC，BC的距离的积的表达式，利用二次函数求出乘积的最大值．
考试点：解三角形．
知识点：正确利用辅助线，三角形的相似得到乘积的表达式，利用二次函数的最值是解题的关键，本题也可以利用解析几何的解析法解答．

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