如图，已知AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，B为切点，OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E．（1）求证：∠OPB=∠AEC；（2）若点C为半圆.ACB的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由．
问题描述：
如图，已知AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，B为切点，OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E．
（1）求证：∠OPB=∠AEC；
（2）若点C为半圆
的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由．.ACB
答
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，∴PB⊥AB．∴∠OPB+∠POB=90°．∵OP⊥BC，∴∠ABC+∠POB=90°．∴∠ABC=∠OPB．又∠AEC=∠ABC，∴∠OPB=∠AEC．（2） 四边形AOEC是菱形．证法一：∵OP⊥弦BC于点D且交...
答案解析：（1）根据题意得PB⊥AB．则∠OPB+∠POB=90°．再由OP⊥BC，得∠ABC+∠POB=90°．即可得出∠ABC=∠OPB．又∠AEC=∠ABC，得∠OPB=∠AEC；
（2）四边形AOEC是菱形．有两种解法：根据题意得出
=.CE
．再由C为半圆.BE
的三等分点，得.ACB
=.AC
=.CE
．即∠ABC=∠ECB．从而得出AB∥CE，AC⊥BC．AC∥OE，四边形AOEC是平行四边形．又OA=OE，从而得出四边形AOEC是菱形．.BE
考试点：切线的性质；菱形的判定．
知识点：本题考查了菱形的性质以及切线的判定，是中考压轴题，难度较大．