求无穷积分是否收敛,为什么lim a→+∞ ∫_1^a_ 1/( (x^2)(1+x) ) dx=lim a→+∞ ∫_1^a_ ( (-1/x)+求无穷积分是否收敛,为什么lim a→+∞ ∫_1^a_ 1/( (x^2)(1+x) ) dx=lim a→+∞ ∫_1^a_ ( (-1/x)+1/(x^2)+1/(1+x) ) dx 这一步是怎么想出来的?
问题描述：
求无穷积分是否收敛,为什么lim a→+∞ ∫_1^a_ 1/( (x^2)(1+x) ) dx=lim a→+∞ ∫_1^a_ ( (-1/x)+
求无穷积分是否收敛,为什么lim a→+∞ ∫_1^a_ 1/( (x^2)(1+x) ) dx=lim a→+∞ ∫_1^a_ ( (-1/x)+1/(x^2)+1/(1+x) ) dx
这一步是怎么想出来的?
答
分母为多项式的倒数时，可用待定系数法：
1/( (x^2)(1+x) ) = A/x + B/x^2 + C/(1+x)
这样，通分后，分母就是(x^2)(1+x)，而分子是
(A+C)x^2 + (A+B)x + B = 1
比照1/( (x^2)(1+x) )，可知
{
B=1，
A+B=0 →A=-1，
A+C=0 →C=1
答
lim(a→+∞) ∫(1→a) 1/[x²(1 + x)] dx= lim(a→+∞) ∫(1→a) [x² - (x² - 1)]/[x²(1 + x)] dx这步其实可用待定系数法解的,不过这个拆解也算简单,为了方便才做这个形式,熟练就想到了.= lim(a...