直角三角形三边垂直平分线的交点位于斜边的中点.请给予证明?

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• 分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
• 8.分别用平行四边形ABCD（∠CDA≠90°）地三边AB,CD,DA为斜边作等腰直角三角形,△ABE,△CDG,△ADF. ①问：如图⑴当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时,连接GF、EF,请判断GF与EF的关系.（只写答案,无需过程） ②问：如图⑵,当三个等腰直角三角形,都在该平行四边形内部时,连接GF、EF,那么问①中的结论还成立么?若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由. （要写出过程.）
• 一道应用勾股定理的证明以RT三角形ABC的三边长为直径做三个半圆（也就是每条边中点为圆心,所谓半圆就是这个直角三角形外的部分）.每边长分别设为a\b\c（左边起,依次下边,斜边）,而左边为直径的半圆面积是S1,下边为直径的是S2,斜边为直径的是S3.如果将此图中斜边上的半圆沿斜边翻折180度,与S1,S2不重合的部分涂上阴影,翻折的图形应与RT三角形一点B重合,成为最终图形.请验证：两个阴影部分面积之和正好等于直角三角形的面积.（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）PS：因为无法提供原题图,所以描述的啰嗦了点,是出现在勾股定理这章里的练习,思路.
• 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题．已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，∠CAB=90°，直线m过点O，过A、B、C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F．（1）当直线m与BC平行时（如图1），请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明；（2）当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．
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