设三角形ABC,AM为BC边上的中线,试说明：AB的平方+AC的平方=2（AM的平方+BM的平方）

该三角形是什么三角形？ 等腰直角三角形比较容易证明出来
但是一般三角形也可以证明出来 利用余弦定理 a2=b2+c2-2bc*cosA
和三角函数和差化积公式 cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
你至少要读高二了啊
因为2*(AM的平方+BM的平方）=（AM的平方+BM的平方）+（AM的平方+CM的平方）
又a2=b2+c2-2bc*cosA 得 （1）（AM的平方+BM的平方）=AB的平方+2AM*BMcosAMB
（2）（AM的平方+CM的平方) =AC的平方+2AM*CMcomAMC
因为BM=CM cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
（AMB+AMC）/2=90° cos90°=0
得 2AM*BMcosAMB+2AM*CMcosAMC=2AM*BM(cosAMB+cosAMC）
=2AM*BM*0
=0
（1）+（2）=AB的平方+AC的平方 即证

向量AB+AC=2AM
两边平方
AB^2+AC^2+2AB*AC*cosA=4AM^2
又2AB*AC*cosA=AB^2+AC^2-BC^2所以
2AB^2+2AC^2-BC^2=4AM^2
2AB^2+2AC^2=BC^2+4AM^2=4BM^2+4AM^2
所以AB^2+AC^2=2(BM^2+AM^2)