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已知a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，若实数M使不等式1a+1b+1c≥Ma+b+c恒成立，则实数M的最大值是（　　） A.6+23 B.5+ 32 C.6+22 D.9

分类: 作业答案 • 2021-12-02 10:41:04

问题描述：

已知a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，若实数M使不等式

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

M

a+b+c

恒成立，则实数M的最大值是（　　）
A. 6+2

3

B. 5+ 3

2

C. 6+2

2

D. 9

答

设

a

c

=sinα，则

b

c

=cosα
则(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)=3+

1+(sinα+cosα)(1+sinαcosα)

sinαcosα

设t=sinα+cosα，则1＜t≤

2

，sinαcosα=

t2−1

2

代入得(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)＝4+(t−1) +

2

t−1

而f（x）=x+

2

x

，在0＜x≤

2

时单调递减，
所以(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)＝4+(t−1) +

2

t−1

≥5+3

2

所以M最大值为5+3

2

故选B