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已知双曲线x22−y22＝1的准线过椭圆x24+y2b2＝1的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（　　）A. K∈[-12，12]B. K∈[-∞，-12]∪[12，+∞]C. K∈[-22，22]D. K∈[-∞，-22]∪[22，+∞]

分类: 作业答案 • 2022-06-25 15:26:30
问题描述：

已知双曲线

x2
2
−
y2
2
＝1的准线过椭圆
x2
4
+
y2
b2
＝1的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（　　）
A. K∈[-
1
2
，
1
2
]
B. K∈[-∞，-
1
2
]∪[
1
2
，+∞]
C. K∈[-
 2
2
，
 2
2
]
D. K∈[-∞，-
 2
2
]∪[
 2
2
，+∞]

答

根据题意，双曲线

x2
2
−
y2
2
＝1中，c2=2+2=4，则c=2，
易得准线方程是x=±
a2
c
=±1
所以c2=a2-b2=4-b2=1即b2=3
所以方程是
x2
4
+
y2
3
＝1
联立y=kx+2可得（3+4k2）x2+16kx+4=0
由△≤0解得k∈[-
1
2
，
1
2
]
故选A
答案解析：先求得准线方程，可推知a和b的关系，进而根据c2=a2-b2求得b，椭圆的方程可得，与直线y=kx+2联立消去y，根据判别式小于等于0求得k的范围．
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；双曲线的简单性质．
知识点：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是先根据椭圆的性质求出椭圆的方程．

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