高等代数计算题:已经知道3阶实对称矩阵A的特征值是λ1=1,λ2=-1,λ3=0,对应的特征向量分别是α1=(1,a,1),α3=(a,a+1,1)求矩阵A越详细越好,算错不要紧,
问题描述：
高等代数计算题:已经知道3阶实对称矩阵A的特征值是λ1=1,λ2=-1,λ3=0,
对应的特征向量分别是α1=(1,a,1),α3=(a,a+1,1)
求矩阵A
越详细越好,算错不要紧,
答
由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
所以 =a+a(a+1)+1=0
所以 a = -1,α1=(1,-1,1)^T,α3=(-1,0,1)^T
又若 α2=(x1,x2,x3)^T,则
=x1-x2+x3=0
=-x1+x3=0
得 α2=(1,2,1)^T
令 P=(α1,α2,α3)=
1 -1 1
-1 0 2
1 1 1
则P可逆,且 P^-1AP=diag(1,-1,0)
所以 A = Pdiag(1,-1,0)P^-1 =
-1/6 -1/3 5/6
-1/3 1/3 -1/3
5/6 -1/3 -1/6