已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,2),则四边形ABCD的面积的最大值为(  )A. 4B. 42C. 5D. 52

问题描述:

已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,

2
),则四边形ABCD的面积的最大值为(  )
A. 4
B. 4
2

C. 5
D. 5
2

设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d12+d22=OM2=3.
四边形ABCD的面积为:S=

1
2
AC•BD=
1
2
•2
4−d12
•2
4−d22
=2
4−d12
4−d22
 
≤4-d12+4-d22=5,当且仅当d12 =d22时取等号,
故选:C.
答案解析:设圆心到AC、BD的距离分别为d1、d2,则 d12+d22 =3,代入面积公式s=
1
2
AC×BD,使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值.
考试点:直线与圆相交的性质;基本不等式;与圆有关的比例线段.
知识点:本题考查圆中弦长公式得应用以及基本不等式的应用,四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算,属于基础题.