已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,2),则四边形ABCD的面积的最大值为( )A. 4B. 42C. 5D. 52
问题描述:
已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,
),则四边形ABCD的面积的最大值为( )
2
A. 4
B. 4
2
C. 5
D. 5
2
答
设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d12+d22=OM2=3.
四边形ABCD的面积为:S=
AC•BD=1 2
•21 2
•2
4−d12
=2
4−d22
•
4−d12
4−d22
≤4-d12+4-d22=5,当且仅当d12 =d22时取等号,
故选:C.
答案解析:设圆心到AC、BD的距离分别为d1、d2,则 d12+d22 =3,代入面积公式s=
AC×BD,使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值.1 2
考试点:直线与圆相交的性质;基本不等式;与圆有关的比例线段.
知识点:本题考查圆中弦长公式得应用以及基本不等式的应用,四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算,属于基础题.