已知数列an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3).a1=1,a2=2,a3=3 用数学归纳法证明 an
问题描述：
已知数列an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3).a1=1,a2=2,a3=3 用数学归纳法证明 an
答
（一）显然，当n=1,n=2,n=3时，有a1=1＜3¹,a2=2＜3²,a3=3＜3³.（二）假设当1≤k≤n-1时，有ak＜3^k.(k=1,2,3,...n-1).∴a(n-1)＜3^(n-1),a(n-2)＜3^(n-2),a(n-3)＜3^(n-3),三式相加得：an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)＜3^(n-1)+3^(n-2)+3^(n-3)=[1+3+3²]×3(n-3)=13×3^(n-3)＜27×3^(n-3)=3^n.即an＜3^n.∴对任意正整数n,恒有an＜3^n.
答
证明：①当n=1,2时 显然成立；
②假设：当n=k(k∈N*)时假设成立,即ak即：a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)+…+a1当n=k+1时,a(k+1)=an+a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)+…+a1
=2an故假设成立!
由①② 知：当n=k+1时,假设成立!
综上：an