已知f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,求证:存在a属于(0,1),使f`(a)=1(f(a)的导数等于1

问题描述:

已知f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,求证:存在a属于(0,1),使f`(a)=1(f(a)的导数等于1

令F(x)=f(x)-x,则F(1/2)=1-1/2=1/2>0,F(1)=0-1=-1<0.F(x)在[1/2,1]上连续,由零点定理,存在一点η∈(1/2,1),使得F(η)=0.
由F(0)=0,F(η)=0,在[0,η]上使用罗尔定理,得存在一点a∈(0,η),使得F'(a)=0.
结论得证!