多元函数积分计算
问题描述：
多元函数积分计算
设D是由y=√(1-x^2),y=x,y=0所围成的第一象限的部分,则 ∫ ∫ (D) (y/x)^2 dxdy=?
答
利用极坐标变换：
x=rcosa
y=rsina
其中,0≤r≤1,0≤a≤π/4,记为D'
因此,
∫ ∫ (D) (y/x)^2 dxdy
=∫ ∫ (D') sina/(rcos^2a) * r dadr
=∫(0,1) dr * ∫(0,π/4) sina/cos^2a da
=∫(0,π/4) sina/cos^2a da
=∫(0,π/4) -1/cos^2a d(cosa)
=1/cosa | (0,π/4)
=√2-1
有不懂欢迎追问答案不对呀，是（4-π）/8的确算错了……∫ ∫ (D) (y/x)^2 dxdy =∫ ∫ (D') rsin^2a / cos^2a dadr=∫(0,1) r dr * ∫(0,π/4) sin^2a/cos^2a da=(1/2) * ∫(0,π/4) sin^2a/cos^2a da=(1/2) * ∫(0,π/4) 1/cos^2a - 1 da=-π/8 + (1/2) * ∫(0,π/4) 1/cos^2a da=-π/8 + (1/2)*tana | (0,π/4)=(4-π)/8有不懂欢迎追问