如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）． （1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p= _ 时，△PAB的周长最短； （2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两
问题描述：
如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）．
（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p= ___ 时，△PAB的周长最短；
（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a= ___ 时，四边形ABDC的周长最短；
（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m= ___ ，n= ___ （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
答
（1）设点B（4，-1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），
设直线AB'的解析式为y=kx+b，
把A（2，-3），B'（4，1）代入得：
，
2k+b=-3 4k+b=1
解得
，
k=2 b=-7
∴y=2x-7，
令y=0得x=
，7 2
即p=
．7 2
（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，-1），连接A'F．那么A'（2，3）．
直线A'F的解析式为y-1=
•(x-1)，即y=4x-5，3-(-1) 2-1
∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，
∴a=
．5 4
（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，
作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，
∴A′（-2，-3），B′（4，1），
∴直线A′B′的解析式为：y=
x-2 3
，5 3
∴M（
，0），N（0，-5 2
）．5 3
m=
，n=-5 2
．5 3