数列{an}中，an＞0，且{anan+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，满足anan+1+an+1an+2＞an+2an+3（n∈N），则公比q的取值范围是（ ） A.0＜q＜1+22 B.0＜q＜1+52 C.0＜q＜−1+22 D
问题描述：
数列{an}中，an＞0，且{anan+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，满足anan+1+an+1an+2＞an+2an+3（n∈N），则公比q的取值范围是（ ）
A. 0＜q＜
1+
2
2
B. 0＜q＜
1+
5
2
C. 0＜q＜
−1+
2
2
D. 0＜q＜
−1+
5
2
答
法1：∵{anan+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，
∴设anan+1＝(a1a2)qn−1，
不等式可化为(a1a2)qn−1+(a1a2)qn＞(a1a2)qn+1，
∵an＞0，q＞0，
∴q2-q-1＜0，
解得：0＜q＜
；1+
5
2
法2：令n=1，不等式变为a1a2+a2a3＞a3a4，
∴a1a2+a1a2⋅q＞a1a2q2，
∵a1a2＞0，∴1+q＞q2，
解得：0＜q＜
，1+
5
2
故选B