如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF=2AE； （2）若CD=2，求AD的长．
问题描述：
如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=
，求AD的长．
2
答
（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
，
∠CAD=∠CBE AD=BD ∠ADC=∠BDF=90°
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；
（2） ∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=
，
2
在Rt△CDF中，CF=
=
DF2+CD2
=2，
(
)2+(
2
)2
2
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2，
∴AD=AF+DF=2+
．
2