证明：若有方程f'(x)=f(1-x),则必有f''(x)+f(x)=0,并求解此方程.
问题描述：
证明：若有方程f'(x)=f(1-x),则必有f''(x)+f(x)=0,并求解此方程.
高等数学下微分方程
答
f'(x)=f(1-x),知f''(x)=-f'(1-x)
令1-x=t,x=1-t,则f''(x)+f(x)=-f'(t)+f(1-t)=-f'(t)+f(t)=0命题得证.
f''(x)+f(x)=0该齐次方程得特征方程为r^2+1=0,解得r1,2=±i
通解为f(x)=C1*sinx+C2*cosx