如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动,动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.在运动过程中,△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ.设运动时间为t(秒).(1)设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式及自变量t的取值范围;(2)是否存在时刻t,使得PD∥AB?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(3)通过观察、画图或折纸等方法,猜想是否存在时刻t,使得PD⊥AB?若存在,请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0≤t≤1;1<t≤2;2<t≤3;3<t≤4);若不存在,请简要说明理由.
问题描述:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动,动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.在运动过程中,△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ.设运动时间为t(秒).
(1)设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式及自变量t的取值范围;
(2)是否存在时刻t,使得PD∥AB?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)通过观察、画图或折纸等方法,猜想是否存在时刻t,使得PD⊥AB?若存在,请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0≤t≤1;1<t≤2;2<t≤3;3<t≤4);若不存在,请简要说明理由.
答
知识点:本题综合考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的图象与几何变换、勾股定理以及平行线分线段成比例.要注意的是t的取值范围是根据三角形的边长来确定的.
(1)由题意知CQ=4t,PC=12-3t,(1分)∴S△PCQ=12PC•CQ=−6t2+24t.∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称,∴y=2S△PCQ=-12t2+48t.(2分)((0<t<4)(1分)(2)设存在时刻t,使得PD∥AB,延长PD交BC于点M,如图,...
答案解析:(1)由三角形PCQ的面积列出关于t的一元二次方程,然后根据轴对称图形的性质知y=2S△PCQ,即y=-12t2+48t;
(2)反证法.假设存在时刻t,使得PD∥AB,延长PD交BC于点M.在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AB=20;易证明Rt△QMD∽Rt△ABC,然后根据相似三角形的对应边成比例求得QM=
t;20 3
(3)通过画图,可以知存在时刻t,使得PD⊥AB.
考试点:相似三角形的判定与性质;二次函数图象与几何变换;勾股定理;平行线分线段成比例.
知识点:本题综合考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的图象与几何变换、勾股定理以及平行线分线段成比例.要注意的是t的取值范围是根据三角形的边长来确定的.