数学对数中求最值
问题描述：
数学对数中求最值
a,b,c,都大于零.则logab+2logbc+4logca的最小值.其中的对数第一个字母是底数,
若abc都大于1呢
答
a、b、c都为正数,且都不为1,求log_a (b)+2log_b (c)+4log_c (a)的最小值.
log_x(y)=lg(y)/lg(x)（换底公式,lg为常用对数）
设p=lg a,q=lg b,r=lg c,则p、q、r∈R\{0}.
L=log_a(b)+2log_b(c)+4log_c(a)
=lg b / lg a + 2lg c / lg b + 4 lg a / lg c
=q/p+2r/q+4p/r
设u=q/p,v=r/q,则v/u=p/r,则u、v∈R.
L=u+2v+4v/u,
显然L没有最小值,L可以取遍所有实数.
如果把a、b、c的范围限制为大于1的实数,那么
L=q/p+2r/q+4p/r
≥3*√(q/p*2r/q*4p/r)
=3*2
=6,
等号当且仅当q/p=2r/q=4p/r,即q=r=2p时等号成立,此时b=c=a^2.
在a、b、c>1的情况下,
当b=c=a^2时,L取得最小值6.