f(x)=(e^x-a)²+(e^-x-a)²(a≥0(1)将f(x)表示为u=(e^x+e^-x)/2的函数(2)求f(x)的最小值
问题描述:
f(x)=(e^x-a)²+(e^-x-a)²(a≥0(1)将f(x)表示为u=(e^x+e^-x)/2的函数(2)求f(x)的最小值
答
u=(e^x+e^-x)/2 (u≥1,当且仅当x=0时等号成立)
则u^2=(e^2x+2+e^-2x)/4
f(x)=(e^x-a)²+(e^-x-a)²
=e^2x-2ae^x+a^2+e^-2x-2ae^-x+a^2
=e^2x+e^-2x-2a(e^x+e^-x)+2a^2
=(e^2x+e^-2x+2)-2-2a(e^x+e^-x)+2a^2
=4u^2-2-2a*2u+2a^2
=4u^2-4au+2a^2-2
2)f(x)= 4u^2-4au+2a^2-2
=(2u-a)^2+a^2-2
a≥0,u≥1
当a≥1时,f(x)最小值为a^2-2,此时2u=a
当1>a≥0时,f(x)最小值为(2-a)^2+a^2-2=2a^2-4a+2 此时u=1(x=0)