二次函数的应用题几种最基本的解法,

二次函数应用题从题设给定形式和解法上看,常见的有以下三类：
一、分析数量关系型
题设结合实际情景给出了一定数与量的关系,要求在分析的基础上直接写出函数关系式,并进行应用.
此类二次函数应用题解答的关键是认真分析题意,正确写出数量关系式.
例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克,购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时,日均销售60千克；单价每降低1元,日均多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时,按整天计算）.设销售单价为x元,日均获利为y元.
（1）求y关于x的二次函数关系式,并注明x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式,写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象,指出单价定为多少元时日均获得最多,是多少?
（3）若将这种化工原料全部售出,比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式,哪一种获总利较多,多多少?
（1）若销售单价为x元,则每千克降低（70-x）元,日均多售出2（70-x）千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利为(x-30)元.根据题意得（30≤x≤70）.
（2）.顶点坐标为（65,1950）,草图略,当单价定为65元时,日均获利最多,是1950元.
（3）列式计算得,当日均获利最多时,可获总利195000元；当销售单价最高时,可获总利221500元.故当销售单价最高时获总利较多,且多获利221500-195000=26500元.
二、待定系数法型
题设明确给出两个变量间是二次函数关系,和几对变量值,要求求出函数关系式,并进行简单的应用.
此类二次函数应用题解答的关键是熟练运用待定系数法,准确求出函数关系式.
例1． 某公司生产的A种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每年投入的广告费是x（十万元）时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如下表：
x（十万元）
0
1
2
…
y
1
1.5
1.8
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10—30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大?
（1）因为题中给出了y是x的二次函数关系,所以用待定系数法即可求出y与x的函数关系式为
（2）由题意得S=10y(3-2)-x
（3）由（2）及二次函数性质知,当1≤x≤2.5,即广告费在10—25万元之间时,S随广告费的增大而增大.
三、构建数学模型型
要求自主构造二次函数,利用二次函数的图象、性质等解决实际问题.
这类二次函数应用题问题建模要求高,有一定难度.例3..某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量 ,y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少?
(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围
在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?
.(1)由题意,设y=kx+b,图象过点(70,5),(90,3),
∴解得∴y=x+12.
(2)由题意,得w=y(x-40)-z=y(x-40)-(10y+42.5)=(x+12)(x-10)-10(x+12)-42.5
=-0.1x2+17x-642.5=(x-85)2+80.
当85元时,年获利的最大值为80万元.
(3)令w=57.5,得-0.1x2+17x-642.5=57.2.
整理,得x2-170x+7000=0.
解得x1=70,x2=100.
由图象可知,要使年获利不低于57.5万元,销售单价应在70元到100元之间.又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又使年获利不低于57.5万元,销售单价应定为70元.