在△ABC中,AB=5,BC=3,∠B=2∠A,则AC?
问题描述：
在△ABC中,AB=5,BC=3,∠B=2∠A,则AC?
答
三角形ABC中,c=AB=5,a=BC=3,∠B=2∠A
则C=180°-B-A=180°-3A
∴sinC=sin(3A)且A是锐角
根据正弦定理：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
∴3/sinA=b/sin(2A)=5/sin(3A)
∴bsinA=3*sin(2A)=6sinAcosA,b=6cosA
又∵5sinA=3sin(3A)=3sin(2A)cosA+3cos(2A)sinA>0
∴6(cosA)^2+3cos(2A)=5
∴3(cos2A+1)+3cos2A=5
即6cos(2A)=2
解得cos(2A)=1/3=2(cosA)²-1
解得cosA=√6/3（负值舍弃）
∴b=AC=6cosA=2√6
∴AC=2√6