已知:梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是BD、AC的中点(如图).求证:(1)MN∥BC;(2)MN=12(BC-AD).

问题描述:

已知:梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是BD、AC的中点(如图).
求证:(1)MN∥BC;
(2)MN=

1
2
(BC-AD).

(1)证明:连接AM并延长,交BC于点E(如图2),
∵AD∥BC,
∴∠DAM=∠BEM,∠ADM=∠EBM,
∵DM=BM,
∴△ADM≌△EBM(AAS),
∴AM=ME,AD=BE,
∵M、N分别是AE、AC的中点,
∴MN是△AEC的中位线,
MN=

1
2
EC,MN∥BC.
(2)证明:∵EC=BC-BE=BC-AD,
MN=
1
2
(BC−AD)

答案解析:(1)连接AM并延长,交BC于点E,证△ADM≌△EBM,推出AM=ME,AD=BE即可;
(2)根据EC=BC-AD和MN=
1
2
CE即可推出答案.
考试点:梯形;全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理.
知识点:本题主要考查对梯形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的中位线等知识点的理解和掌握,能推出MN是△AEC的中位线是解此题的关键.