已知,如图锐角三角形ABC内接于O,∠ABC=45°,点D是圆O上一点,过点D的切线DE交AC的延且DE平行于BC,连接AD,BD,BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F,求证△ABD相似于△ADE
问题描述：
已知,如图锐角三角形ABC内接于O,∠ABC=45°,点D是圆O上一点,过点D的切线DE交AC的延
且DE平行于BC,连接AD,BD,BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F,求证△ABD相似于△ADE
答
证明:∵BC平行DE.
∴∠AED=∠ACB;
又∠ADB=∠ACB.
∴∠AED=∠ADB
∵DE与圆相切.
∴∠ADE=∠ABD.
∴⊿ABD∽⊿ADE.
答
∵DE切圆O于D,
∴∠ADE=∠ABD=弧ACD度数的一半，
又DE∥BC,
∴弧BD=弧CD,
∴∠BAD=∠EAD,
∴△ABD∽△ADE.
答
证明:∵BC平行DE.
∴∠AED=∠ACB;
又∠ADB=∠ACB.(同弧所对的圆周角相等)
∴∠AED=∠ADB.(等量代换)-------------------------------------------------(1)
∵DE与圆相切.
∴∠ADE=∠ABD.(弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角)----------------(2)
∴⊿ABD∽⊿ADE.
(注:若没学过弦切角定理,在证∠ADE=∠ABD时可以按如下过程来写.
连接DO并延长交圆O于M,连接AM.DM为直径,则∠MAD=90°,∠AMD+∠ADM=90°;
又DE为切线,则OD垂直于DE,∠ADE+∠ADM=90°.
∴∠ADE=∠AMD;又∠ABD=∠AMD.故∠ABD=∠ADE.)