正方形ABCD的边长是2，E，F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）．M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为12，那么点M到直线EF的距离为______．

答

如图，过点M作MH⊥EF，连接BH，
∵∠MBE=∠MBC，
∴H在∠EBC的角平分线上，即∠EBH=45°，
∴BH=

2

，
在直角三角形MBH中，
由于MB和平面BCF所成角的正切值为

1

2

，∴tan∠MBH=

1

2

∴MH=BH×tan∠MBH=

2

×

1

2

=

2

2

，
那么点M到直线EF的距离为

2

2

故答案为：

2

2

．
答案解析：如图，先过点M作MH⊥EF，连接BH，由∠MBE=∠MBC，得出H在∠EBC的角平分线上，即∠EBH=45°，再利用直角三角形MBH中，MH=BH×tan∠MBH即可求得点M到直线EF的距离．
考试点：点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．
知识点：本题考查的点是直线与平面所成的角、点、线、面间的距离计算，其中利用∠MBE=∠MBC，得出H在∠EBC的角平分线上，求出点H在平面BCF上射影的位置是解答本题的关键．