在三角形ABC中 BP,CP分别是∠abc∠acb的外角平分线求证:点P在∠A的平分线上 ∠BPC=90°-½∠BAC

问题描述:

在三角形ABC中 BP,CP分别是∠abc∠acb的外角平分线求证:点P在∠A的平分线上 ∠BPC=90°-½∠BAC

证明:
作PM⊥AB,交AB延长线于M,PN⊥AC,交AC延长线于N,作PO⊥BC于O
∵PB是∠MBC的平分线
∴PM=PO【角分线上的点到两边的距离相等】
∵PC是∠NCB的平分线
∴PN=PO
∴PM=PN
连接PA,则PA是∠MAN的平分线【在角内,到两边距离相等的点,在角的平分线上】
即点P在∠A的平分线上
(2)
∵∠PBC=½∠MBC=½(∠BAC+∠ACB)
∠PCB=½∠NCB=½∠(∠BAC+∠ABC)
∴∠PBC+∠PCB=½(∠BAC+∠ABC+∠ACB+∠BAC)=½(180º+∠BAC)=90º+½∠BAC
∴∠BPC=180º-(∠PBC+∠PCB)=90º-½∠BAC