正方形ABCD中,Q在CD上,QD=QC,P在BC上且AP=CD+CP,求证：AQ平分角DAP
问题描述：
正方形ABCD中,Q在CD上,QD=QC,P在BC上且AP=CD+CP,求证：AQ平分角DAP
答
连接PQ.设正方形ABCD的边长为a,PC长为x,在三角形ABP中，
AB^2+BP^2=AP^2=(CD+CP)^2
而AB=CD=a,BP=a-x,CP=x,代入上式得：
a^2+(a-x)^2=(a+x)^2
a^2-4ax=0
x=a/4，
由题意有QD=QC=a/2
由此可求得AP＝5a/4,PQ=（根号5）a/4,AQ=（根号5）a/2
三角形APQ与三角形AQD各边对应成比例，即他们是相似三角形
角PAQ=角QAD
所以AQ平分角DAP
得证
答
连接P、Q并延长,使PQ与AD的延长线交于E
∵DQ=DC
∠DQE=∠CQP
∠EDQ=∠PCQ=RT∠
∴△EDQ≌△PCQ
∴ED=CP
AP=CD+CP AE=AD+ED
AD=CD
∴AE=AP
EQ=PQ
∴△AEQ≌△APQ
∴∠EAQ=∠PAQ
AQ平分∠DAP