已知平面阿尔法外同侧的两点A B 到平面阿尔法距离为1和2 ,A B 两点在平面阿尔法内的射影之比根号3 直线A B和平面阿尔法所成的角

问题描述:

已知平面阿尔法外同侧的两点A B 到平面阿尔法距离为1和2 ,A B 两点在平面阿尔法内的射影之比
根号3 直线A B和平面阿尔法所成的角

设A、B两点在平面α内的射影分别为A'、B',直线AB交平面α于点O。
则有:AA' = 1 ,BB' = 2 ,A'B' = √3 ,∠AOA' 就是直线AB和平面α所成的角;
因为,在△AOA'和△BOB'中,∠AOA' = ∠BOB' ,∠AA'O = 90°= ∠BB'O ,
所以,△AOA' ∽ △BOB' ,可得:OA'/OB' = AA'/BB' = 1/2 ;
分两种情况讨论:

若A、B两点在平面α的同侧,则点O在线段B'A'的延长线上,
可得:OA'/A'B' = OA'/(OB'-OA') = 1/(2-1) = 1 ,
则有:OA' = A'B' = √3 ,
因为,tan∠AOA' = AA'/OA' = √3/3 ,
所以,∠AOA' = 30°;

若A、B两点在平面α的两侧,则点O在线段A'B'上,
可得:OA'/A'B' = OA'/(OA'+OB') = 1/(1+2) = 1/3 ,
则有:OA' = A'B'/3 = √3/3 ,
因为,tan∠AOA' = AA'/OA' = √3 ,
所以,∠AOA' = 60°;
综上可得:
直线AB和平面α所成的角为 30°或 60°。

两点A B 到平面阿尔法距离之差为1
射影之比根号3
直线A B和平面阿尔法所成为a
taba=(距离之差)/(射影之比)=√3/3 a=30°