已知函数f（x）=x1/3−x−1/35，g（x）=x1/3+x−1/35． （1）证明f（x）是奇函数，并求函数f（x）的单调区间； （2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出f（x）和g
问题描述：
已知函数f（x）=
，g（x）=
x
−x−1 3
1 3 5
．
x
+x−1 3
1 3 5
（1）证明f（x）是奇函数，并求函数f（x）的单调区间；
（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．
答
（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，
则f（x）=
=-(−x)
−(−x)−1 3
1 3 5
=-f（x），∴函数f（x）是奇函数．
x
−x−1 3
1 3 5
当x＞0时，函数y=x
为增函数，y=x−1 3
为减函数，1 3
∴根据函数单调性的关系即可得到此时函数f（x）为增函数，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）．
（2）f（4）-5f（2）•g（2）=0；f（9）-5f（3）•g（3）=0；
由此概括出对所有不等于零的实数x都成立的等式是：f（x2）-5f（x）•g（x）=0，
下面给予证明：∵f（x2）-5f（x）•g（x）=
−5×
x
−x−2 3
2 3 5
×
x
−x−1 3
1 3 5
=
x
+x−1 3
1 3 5
(x1 5
−x−2 3
)−2 3
(x1 5
−x−2 3
)=0，2 3
∴f（x2）-5f（x）•g（x）=0对所有不等于零的实数x都成立．