试推导反常积分In=∫(0,+∞)x^n*e^(-x)dx的递推公式,并由此证明In=n!
问题描述：
试推导反常积分In=∫(0,+∞)x^n*e^(-x)dx的递推公式,并由此证明In=n!
答
分部积分+递推
记I(n)=∫(0,∞)x^ne^(-x)dx=n∫(0,∞)x^(n-1)e^(-x)dx=nI(n-1)
则I(n)/I(n-1)=n
并且易得I(1)=1
那么累乘有I(n)=n!*I(1)=n!