利用数项级数∑1/n^2=π^2/6 计算积分∫ln(1+x)/x dx
问题描述：
利用数项级数∑1/n^2=π^2/6 计算积分∫ln(1+x)/x dx
答
考虑幂级数f(x)=∑x^(n)/n^2=x+x^2/4+x^3/9+.
求导得：f'(x)=1+x/2+x^2/3+x^3/4+.
g(x)=xf'(x)=x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+.
g'(x)=xf'(x)=1+x+x^2+x^3+.=1/(1-x)
g(x)=-ln(1-x) f'(x)=-ln(1-x)/x,两边从0到x积分得：
f(x)-f(0)=-∫(0,x)ln(1-x)/xdx
f(x)=-∫(0,x)ln(1-x)/xdx=-∫(0,-x)ln(1+x)/xdx
是我错?还是题目有问题?等下来看看貌似1+x+x^2+x^3+.......=（1-x^n)/(1-x)把不是。1+x+x^2+x^3+.......=1/(1-x)是对的后面的符号有什么问题题目是考研真题应该没问题就是你做的等比数列求和那个步骤我觉得不太准确吧