弦AB和CD相交于圆O内一点P,且∠OPB=∠OPD,求证(1)弧AB=弧CD (2)PA=PC

问题描述:

弦AB和CD相交于圆O内一点P,且∠OPB=∠OPD,求证(1)弧AB=弧CD (2)PA=PC

如图:
过O分别作AB、CD的垂线,垂足为E、F;并连接OB、OD
可知:E、F是AB、CD的中点
因为∠OPB=∠OPD,OP=OP,
所以:△OPE≌OPF,所以,OE=OF
又因为OB=OD
所以△ODF≌OBE
所以DF=BE,所以AB=CD,所以弧AB=弧CD 
2、
有(1):
AE=CF,且PE=PF
所以,PA=PC